Números grandes e infinito

Nos pasó varias veces: eramos cabros chicos, y en algún punto del juego, o de una discusión no tan seria, todo se iba a decidir por quién decía el número más grande. La pelea tenía un ganador, cuando alguien traía un concepto nuevo, una nueva manera de armar un número aun más grande. Cuando nuestra referencia más gigantesca era ese juguete prohibido que costaba diez mil pesos, y nos ganamos esa palabra mágica mil que estiraba toda cantidad por grande que fuera hasta los límites de la imaginación, y más allá, pretendíamos terminar la discusión diciendo que nosotros eramos mejores seis mil doscientos mil quinientos veces que nuestro amigo, el que, aceptando que perdió la batalla, pero no la guerra, iba a prepararse para responder algo mucho mejor la próxima vez.

Y no pasó mucho hasta que alguien descubrió el millón, y aseguraba que su mamá podía contar, de hecho, hasta un millón, y él ya la había visto hacerlo varias veces. Lo intentamos, en secreto, pero pocos llegaban más allá del cien. Después supimos que se podían combinar todas estas palabras, y de manera exponencial los límites de los números abandonaron por completo los de la imaginación. Sin ningún esfuerzo podíamos formular que el otro era más tonto por mil millones, despreocupados por completo de la verdadera proporción de lo que estábamos hablando.

Por supuesto que uno de nosotros le puso pronto fin a toda la pelea, y trajo a nuestro conocimiento el “número más grande” de todos, por definición, infinito. Y mi papá es mejor que el tuyo por infinito. Sobra decir que existía una respuesta natural: si es que realmente infinito era el número más grande, infinito + 1 tenía que ser, necesariamente, aun mayor. Pero ahí estaba el límite. La pelea no nos iba a traer elementos novedosos. Ya no había números más grandes con los que jugar. Algunos más vivarachos estiraron el elástico usando las operaciones, y por ahí salió un infinito por infinito, en los estertores finales del juego.

Pero el infinito es un límite flojo, no tiene ninguna gracia. Solo gana por definición. Es incluso peor cuando descubrimos que infinito + 1 sigue siendo infinito 1Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida. El juego perdió todo interés, y, de adultos, muchos nunca volvemos a experimentar quizás nunca en la vida, la alegría de descubrir un nuevo peldaño en la escala. Pero de vez en cuando podemos tener breves vislumbres  de números que están mucho más lejos que el infinito, sin estarlo realmente 2Evidentemente es que no son números “más grandes que el infinito”, si definimos infinito como un “número más grande que todo el resto”, pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos..

Como la leyenda del trigo (o el arroz) y el tablero de ajedrez. En el mejor de los mundos un familiar, un profesor, o un amigo nos cuentan de la leyenda del inventor del ajedrez, que demandó como humilde pago por su novedoso juego, 1 grano de arroz por la primera casilla, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, y así, el doble de la cantidad por cada casilla, hasta completar el tablero. Y el remate es que el número final es tan grande, que sería completamente imposible para el mundo entero producir tanto arroz. De hecho, el número total de granos es 1000 veces más grande que la producción actual mundial de arroz. Y ese número corresponde a 2^{64}-1=118.446.744.073.709.551.615 , que en palabras es ciento dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones y quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de arroz. Y ese número, que es tan monstruosamente grande, tan alejado de nuestra realidad, pero que emerge de un patrón tan simple y accesible como un tablero de ajedrez, nos entrega un nuevo peldaño para mirar, a partir de ahí, otros números tan gigantescos como ese. Como 27.380.000.000.000.000.000, en palabras veintisiete trillones, trescientos ochenta mil billones, que es el número de maneras en que se pueden emparejar los aproximadamente siete mil cuatrocientos millones de seres humanos en el planeta. Cuatro granos de arroz por cada pareja posible. Y ese número se escribe chiquito: un poco más que 10^{20} . Ese 20 podría ser cualquier número.

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma [GFDL CC BY 3.0]

Y hay maneras de ampliar más la mente. Existen números “normales”, no infinitos, que escapan a las maneras convencionales incluso de escribirlos (y que tienen aplicaciones “reales”), pero eso lo quiero dejar para otro momento.

Notas   [ + ]

1. Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida
2. Evidentemente es que no son números “más grandes que el infinito”, si definimos infinito como un “número más grande que todo el resto”, pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos.

Toroides y no toroides

Quizás quieran leer primero la primera parte: Nuestra pequeña farsa topológica

Aceptar que en líneas generales somos un toroide es fácil. No es nada degradante si pensamos que probablemente no sea coincidencia, y que el producto de millones de años de evolución demuestra que los animales más interesantes son casi todos toros.

De hecho todo animal que se precie de tal, o que tenga a su haber algún logro es de los nuestros. Para calificar solo hay que tener una boca y un ano; simplemente adscribir a la mínima decencia de comer por un lado diferente del que se caga. Los pájaros, que desde la época de los dinosaurios conquistaron el cielo, y se lo apropiaron para siempre (hasta la llegada muy posterior de los murciélagos, colugos y ardillas voladoras), son toros. Todos los bichos, incluyendo abejas, arañas y el noble escarabajo, son toros; hasta los carismáticos cangrejos, que carroñeros y todo, tienen su propio tubo, con sus dos extremos bien puestos. Los nemátodos, gusanos de todos los portes que cubren la superficie de la tierra y el mar; a veces por ahí libres, otras tantas parasitando la piel, tripas o sangre de otros animales; esos también son toros.

¿Quiénes son entonces los animales esféricos (sin hoyos o tubos)? Seguramente vermes despreciables del inframundo, pensará el lector. Sin embargo estará muy equivocado. A pesar de que el equipo esfera está muy desventajado tanto en número como en elegancia y nobleza, tiene joyas ocultas. Talentos perdidos que no llegan a las portadas de National Geographic, ni han merecido hasta ahora muchos minutos de la voz de David Attenborough, pero siguen siendo dignos de nuestra atención. Hagamos, pues, un breve recorrido por el nutrido catálogo de animales esféricos:

Primero tenemos animales que solo lo son porque los científicos lo deciden así: algo de mitocondrias y moléculas. Se agrupan en los Parazoos, y, a diferencia de cualquier animal propiamente tal, no se organizan en tejidos diversos, como músculos, intestino o nervios, y se comportan más como colonias de células. Conocemos dos grupos: las esponjas (poríferos) y los placozoos, grupo al que solo pertenece un bicho (Trichoplax adhaerens) parecido a un globo que repta en las costas del Mediterráneo y el mar Rojo. Solo se le conoce desde finales del siglo 19, y se creía que era larva de otro animal, pero resulta que, a pesar de no tener ningún órgano, genera sus propios espermatozoides y óvulos.

Una esponja barril, Por Albert Kok [GFDL CC-BY-SA-3.0]

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Trichoplax adhaerens.

Trichoplax adhaerens, por Oliver Voigt [CC BY-SA 2.0 de, GFDL, CC-BY-SA-3.0]

Y dentro de los animales propiamente tales, tenemos también a los cnidarios, grupo dentro del que se encuentra todo tipo de animales que compartan la característica de tener cnidocitos, células como pequeños arpones, que usan unas tantas veces para cazar y comer, y otras para envenenar y molestar a los desprevenidos bañistas que los rozan, o a sus cadáveres. Y de estos animales hay varios tipos, pero el avispado lector más o menos ya sabrá de quienes estamos hablando: se trata de las medusas, avispas de mar, anémonas, corales e hidrozoos. Los primeros no necesitan introducción, pero los hidrozoos son, sin entrar en detalles, como medusas pero medio pulpitos. Alguna razón tendrán los que saben para separarlos; y contienen a la famosa fragata portuguesa, y las hidras, unos simpáticos animalillos que tienen la notable característica de ser biológicamente inmortales. Tal cual, no envejecen, y no mueren de manera natural.

Biológicamente inmortales

Elegancia. por Luc Viatour

Pero el equipo toro contraataca: también tenemos animales que parecen medusas, los ctenóforos, pero que son, a mi gusto, superiores por varios motivos: 1) reemplazan los molestos cnidocitos por los coloblastos, que en vez de ser pequeños arpones, son inofensivas células pegajosas, 2) tienen suficiente elegancia de tener un poro rectal, que les permite adoptar su forma topológicamente superior, 3) son bioluminiscentes, es decir, que producen su propia luz, y 4) no contentos con producir su propia luz, producen espectaculares despliegues de luces multicolores, con intricados patrones que dejan como amateurs al más orgulloso pavo real. Una imagen vale más que mil palabras:

1001 palabras

Y los videos, los videos son otra cosa: considerando que un video típico tiene 24 cuadros por segundo, cada minuto de video vale por lo menos 1.441.440 palabras (el Quijote tiene solo 377.032 palabras). Por eso es que acá le van millones y millones de palabras:

De nuevo nos desvíamos del objetivo principal: pronto podré escribir acerca de la aventura de la bola de carne que se hace consciente. Pero este texto sirvió para empezar a erradicar una potencial farsa chovinista: los toros  tenemos su qué, pero incluso dentro de los animales sin tubos podemos encontrar la inmortalidad y la belleza. Simplemente es que en este planeta el equipo toro ganó, pero no por paliza.

Nuestra pequeña farsa topológica.

Dos advertencias para antes de seguir con estos párrafos: 1) esto no pretende ser una filosofía exhaustiva de la conciencia; ni siquiera tener perfecta coherencia interna, y 2) es extremadamente probable que los temas que trate aquí (y en todos los textos que publique en adelante) estén expuestos de manera mucho más completa y elegante por verdaderos autores y filósofos. Dicho eso, espero poder compartir con ustedes estas reflexiones, y si puedo generarles algún pensamiento o conversación, entonces mi misión está completa.

¿Qué tanto olvidamos nuestra calidad de bola de carne? Bueno, siendo justos, bola no es el término más preciso para describirnos. En realidad somos más cercanos a un toro. Un toro, para los que no cliquearán el enlace, es una figura geométrica que se asemeja a un anillo, una dona, o una cámara de una rueda. Se caracteriza por tener un “hoyo”, y solo un hoyo.

Para los matemáticos, cualquier objeto con un hoyo puede transformarse en (es homeomorfo a) un toro. Esto porque las reglas de un matemático para transformar una figura en otra, incluyen que no podamos hacer nuevos hoyos, ni cerrar los hoyos que ya existen. Como si todo estuviera hecho de plasticina. El resto está casi todo permitido. Entonces, un objeto como una taza, que tiene un hoyo (la oreja de la taza), sigue siendo, estirando y apretando, un toro.

Una taza es homeomorfa con un toro

Y los humanos, y casi todos los animales, somos toros. Incluyendo los toros, lo que hace para las vacas todo mucho más confuso. En estricto rigor, podemos resumirnos en líneas generales como primero un cilindro, con un agujero de entrada en la parte de arriba, que conecta sin interrupciones con otro de salida. Y no hay más hoyos, es decir, un toro. Si estiramos y apretamos este toro, le sacamos cuatro o cinco lulos, para las extremidades, y una pelotita donde está un extremo del hoyo, para la cabeza, tenemos un humano. Un par de correcciones posturales, y dos lulos más para los cuernos, y tenemos de vuelta un toro. Las vueltas de la vida.

Este texto iba dirigido a otra farsa, más relacionado con la conciencia y la vida cotidiana, pero esa quedará para un futuro texto. Primero hay que relevar nuestra farsa topológica: de todas las figuras geométricas posibles el cuerpo humano es un toro; no distinto de una lombriz, en el gran esquema de las cosas.

Luego escribiré más acerca de nuestra condición de bola (toro) de carne.