Números grandes e infinito

Nos pasó varias veces: eramos cabros chicos, y en algún punto del juego, o de una discusión no tan seria, todo se iba a decidir por quién decía el número más grande. La pelea tenía un ganador, cuando alguien traía un concepto nuevo, una nueva manera de armar un número aun más grande. Cuando nuestra referencia más gigantesca era ese juguete prohibido que costaba diez mil pesos, y nos ganamos esa palabra mágica mil que estiraba toda cantidad por grande que fuera hasta los límites de la imaginación, y más allá, pretendíamos terminar la discusión diciendo que nosotros eramos mejores seis mil doscientos mil quinientos veces que nuestro amigo, el que, aceptando que perdió la batalla, pero no la guerra, iba a prepararse para responder algo mucho mejor la próxima vez.

Y no pasó mucho hasta que alguien descubrió el millón, y aseguraba que su mamá podía contar, de hecho, hasta un millón, y él ya la había visto hacerlo varias veces. Lo intentamos, en secreto, pero pocos llegaban más allá del cien. Después supimos que se podían combinar todas estas palabras, y de manera exponencial los límites de los números abandonaron por completo los de la imaginación. Sin ningún esfuerzo podíamos formular que el otro era más tonto por mil millones, despreocupados por completo de la verdadera proporción de lo que estábamos hablando.

Por supuesto que uno de nosotros le puso pronto fin a toda la pelea, y trajo a nuestro conocimiento el «número más grande» de todos, por definición, infinito. Y mi papá es mejor que el tuyo por infinito. Sobra decir que existía una respuesta natural: si es que realmente infinito era el número más grande, infinito + 1 tenía que ser, necesariamente, aun mayor. Pero ahí estaba el límite. La pelea no nos iba a traer elementos novedosos. Ya no había números más grandes con los que jugar. Algunos más vivarachos estiraron el elástico usando las operaciones, y por ahí salió un infinito por infinito, en los estertores finales del juego.

Pero el infinito es un límite flojo, no tiene ninguna gracia. Solo gana por definición. Es incluso peor cuando descubrimos que infinito + 1 sigue siendo infinito 1Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida. El juego perdió todo interés, y, de adultos, muchos nunca volvemos a experimentar quizás nunca en la vida, la alegría de descubrir un nuevo peldaño en la escala. Pero de vez en cuando podemos tener breves vislumbres  de números que están mucho más lejos que el infinito, sin estarlo realmente 2Evidentemente es que no son números «más grandes que el infinito», si definimos infinito como un «número más grande que todo el resto», pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos..

Como la leyenda del trigo (o el arroz) y el tablero de ajedrez. En el mejor de los mundos un familiar, un profesor, o un amigo nos cuentan de la leyenda del inventor del ajedrez, que demandó como humilde pago por su novedoso juego, 1 grano de arroz por la primera casilla, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, y así, el doble de la cantidad por cada casilla, hasta completar el tablero. Y el remate es que el número final es tan grande, que sería completamente imposible para el mundo entero producir tanto arroz. De hecho, el número total de granos es 1000 veces más grande que la producción actual mundial de arroz. Y ese número corresponde a 2^{64}-1=118.446.744.073.709.551.615 , que en palabras es ciento dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones y quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de arroz. Y ese número, que es tan monstruosamente grande, tan alejado de nuestra realidad, pero que emerge de un patrón tan simple y accesible como un tablero de ajedrez, nos entrega un nuevo peldaño para mirar, a partir de ahí, otros números tan gigantescos como ese. Como 27.380.000.000.000.000.000, en palabras veintisiete trillones, trescientos ochenta mil billones, que es el número de maneras en que se pueden emparejar los aproximadamente siete mil cuatrocientos millones de seres humanos en el planeta. Cuatro granos de arroz por cada pareja posible. Y ese número se escribe chiquito: un poco más que 10^{20} . Ese 20 podría ser cualquier número.

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma [GFDL CC BY 3.0]

Y hay maneras de ampliar más la mente. Existen números «normales», no infinitos, que escapan a las maneras convencionales incluso de escribirlos (y que tienen aplicaciones «reales»), pero eso lo quiero dejar para otro momento.

Notas   [ + ]

1. Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida
2. Evidentemente es que no son números «más grandes que el infinito», si definimos infinito como un «número más grande que todo el resto», pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos.
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