Ofiuras en el conjunto de Mandelbrot

A casi todos los toca alguna vez sentarse a escuchar e intentar aprender algo acerca de los números complejos. De segunda categoría, imaginarios, destinados a despertar poco más que bostezos. ¿De qué puede servir un número imaginario? La lógica capitalista y nuestras más o menos frustradas infancias nos indican que el camino para el progreso es aplastar la imaginación y la fantasía. Se reemplazan por la creatividad y la visión emprendedora. Bienvenido el know-how y el marketing; para mi start-up no necesito bullshit. Reduciendo todo a su potencial aplicación práctica, sabemos de inmediato que no necesitamos cosa tal como números imaginarios, que no representan cantidad alguna de dólares ni de acciones en la bolsa.

Sirven para la física, para la aeronáutica, dice el profesor. Los más entusiastas dicen que en el misterioso mundo cuántico las cosas solo se pueden describir usando números imaginarios. Los más escépticos dicen que es un truco, un salto para poder resolver ecuaciones, y nada más. Un pasatiempo más para matemáticos enfermos del mate, ociosos.  Pero pocos nos muestran que son la llave para abrir un tipo insospechado de belleza. Que como el arte no tienen un propósito intrínseco; solo están ahí, y que si seguimos las reglas, las nuestras, y con la pequeña gran ayuda de un computador para hacer el trabajo pesado, el resultado jamás dejará de sorprendernos.

El conjunto de Mandelbrot es, como su nombre lo indica, un conjunto, una colección de números, descubierta por un matemático polaco-francés de apellido Mandelbrot. Obviamente no son números cualquiera, elegidos al azar, sino que cumplen con una propiedad, aparentemente sencilla.

A partir del número que queremos comprobar si pertenecen o no al conjunto, se crea una serie de la siguiente manera: el número anterior de la serie se eleva al cuadrado, y se le suma (recordemos, el número original). Si la serie tiende al infinito, c no pertenece al conjunto de Mandelbrot. Si, por el otro lado, la serie queda “acotada” en cierto rango, c pertenece al conjunto de Mandebrot. Podemos intentarlo con dos números, -1 y 1.

Con -1 la “serie” sigue del siguiente modo:

0,\  0^2+-1=-1,\ -1^2+-1=0,\ 0^2+-1=-1,\dots

La serie solo sigue “rebotando” entre 0 y -1, por lo que nunca tiende al infinito, y –1 pertenece al conjunto de Mandelbrot. En el caso de 1:

0,\  0^2+1=1,\ 1^2+1=2,\ 2^2+1=5,\ 5^2+1=26,\ \dots

Esta vez la serie tiene rápidamente a números cada vez más grandes, por lo que 1 no pertenece al conjunto. 

El conjunto de Mandelbrot (en negro) en el plano complejo.

El conjunto de Mandelbrot (en negro) en el plano complejo.

Un computador calcula esta serie por cada uno de los miles o millones de puntos que queremos comprobar, y genera una imagen como la que vemos arriba. Si usáramos solo números “reales”, el conjunto de Mandelbrot sería una sonsa línea que va desde -2 a +1/4, pero aparece mucho más que eso cuando incorporamos los números “imaginarios”. Aparece un corazón gigante coronado por infinitos globitos, algunos grandes y otros pequeños, y en la punta de cada globito una antena infinitamente compleja.

Notemos que tiene una estructura que llamamos “fractal”. Básicamente y en resumen la palabra “fractal” tiene mucho que ver con el concepto de “autosimilitud”: un objeto que es similar a sí mismo visto desde diferentes escalas, como un brócoli. Entonces cada uno de los pequeños globitos tiene una estructura muy similar al globo mayor. De hecho existen cercanos a la “superficie”, en las antenas, pequeñas estructuras muy similares al conjunto completo.

Cada una de las ramitas del brócoli es parecida a un brócoli completo

Pero lo interesante ocurre en el límite, en el borde más externo del conjunto. Ahí es realmente muy difícil, aun para un computador, estimar si un número pertenece o no al conjunto. Necesitará entonces repetir (“iterar”) cientas, miles o millones de veces la operación (elevar al cuadrado y sumar) para determinar si la serie está acotada o no. Entonces los genios de la computación, los verdaderos artistas del bit, decidieron que sería una excelente idea asignar un color (cualquiera) a cada punto si se determina que no pertenece, según qué tan “rápido” se haga esa determinación. Entonces la imagen se vuelve mucho más interesante

Después de aplicar esa regla la imagen cambia radicalmente

En este caso los colores azules fueron descartados rápidamente, los rojos y amarillos no tanto, y los celestes (más cercanos al límite), solo descartados después de miles de iteraciones. ¡Los colores son lo menos importante! Estamos a un paso de entrar a apreciar el universo infinitamente complejo de su perímetro infinitamente plegado. Hay zonas con elefantes, martillos, agujas y espinas. Hay una zona, entre los dos círculos más grandes, en que se generan pequeñas ofiuras hechas de ofiuras más pequeñas.

Cada uno de los tentáculos contiene, al final, cuando se convierte en el cuerpo superior, un huevo que en su núcleo más interno alberga una copia muy similar al conjunto completo, rodeado de miles de capas de cabellos finísimos. Cada cabello se conecta a su vez con la capa superior, en un espiral de tentáculos y pelos hasta que de pronto, muy al fondo, aparece otro conjunto pequeño, en el interior de un huevo alimentado por 8 medusas.

Un huevo al final de un pelo en el interior de un huevo ubicado al final de un tentáculo de una ofiura, alimentado por 8 medusas.

Los ojos de las medusas son medusas, algunas deformadas, grandes y pequeñas, que alimentan más huevos que tienen en su interior al conjunto completo. En otras ofiuras las medusas son reemplazadas por choritos. ¿o serán copépodos, o chanchitos de tierra? Los pelos quizás son corales, o hidras. ¿Quién sabe, realmente?

No son medusas, sino choritos

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