Ofiuras en el conjunto de Mandelbrot

A casi todos los toca alguna vez sentarse a escuchar e intentar aprender algo acerca de los números complejos. De segunda categoría, imaginarios, destinados a despertar poco más que bostezos. ¿De qué puede servir un número imaginario? La lógica capitalista y nuestras más o menos frustradas infancias nos indican que el camino para el progreso es aplastar la imaginación y la fantasía. Se reemplazan por la creatividad y la visión emprendedora. Bienvenido el know-how y el marketing; para mi start-up no necesito bullshit. Reduciendo todo a su potencial aplicación práctica, sabemos de inmediato que no necesitamos cosa tal como números imaginarios, que no representan cantidad alguna de dólares ni de acciones en la bolsa.

Sirven para la física, para la aeronáutica, dice el profesor. Los más entusiastas dicen que en el misterioso mundo cuántico las cosas solo se pueden describir usando números imaginarios. Los más escépticos dicen que es un truco, un salto para poder resolver ecuaciones, y nada más. Un pasatiempo más para matemáticos enfermos del mate, ociosos.  Pero pocos nos muestran que son la llave para abrir un tipo insospechado de belleza. Que como el arte no tienen un propósito intrínseco; solo están ahí, y que si seguimos las reglas, las nuestras, y con la pequeña gran ayuda de un computador para hacer el trabajo pesado, el resultado jamás dejará de sorprendernos.

El conjunto de Mandelbrot es, como su nombre lo indica, un conjunto, una colección de números, descubierta por un matemático polaco-francés de apellido Mandelbrot. Obviamente no son números cualquiera, elegidos al azar, sino que cumplen con una propiedad, aparentemente sencilla.

A partir del número que queremos comprobar si pertenecen o no al conjunto, se crea una serie de la siguiente manera: el número anterior de la serie se eleva al cuadrado, y se le suma (recordemos, el número original). Si la serie tiende al infinito, c no pertenece al conjunto de Mandelbrot. Si, por el otro lado, la serie queda “acotada” en cierto rango, c pertenece al conjunto de Mandebrot. Podemos intentarlo con dos números, -1 y 1.

Con -1 la “serie” sigue del siguiente modo:

0,\  0^2+-1=-1,\ -1^2+-1=0,\ 0^2+-1=-1,\dots

La serie solo sigue “rebotando” entre 0 y -1, por lo que nunca tiende al infinito, y –1 pertenece al conjunto de Mandelbrot. En el caso de 1:

0,\  0^2+1=1,\ 1^2+1=2,\ 2^2+1=5,\ 5^2+1=26,\ \dots

Esta vez la serie tiene rápidamente a números cada vez más grandes, por lo que 1 no pertenece al conjunto. 

El conjunto de Mandelbrot (en negro) en el plano complejo.

El conjunto de Mandelbrot (en negro) en el plano complejo.

Un computador calcula esta serie por cada uno de los miles o millones de puntos que queremos comprobar, y genera una imagen como la que vemos arriba. Si usáramos solo números “reales”, el conjunto de Mandelbrot sería una sonsa línea que va desde -2 a +1/4, pero aparece mucho más que eso cuando incorporamos los números “imaginarios”. Aparece un corazón gigante coronado por infinitos globitos, algunos grandes y otros pequeños, y en la punta de cada globito una antena infinitamente compleja.

Notemos que tiene una estructura que llamamos “fractal”. Básicamente y en resumen la palabra “fractal” tiene mucho que ver con el concepto de “autosimilitud”: un objeto que es similar a sí mismo visto desde diferentes escalas, como un brócoli. Entonces cada uno de los pequeños globitos tiene una estructura muy similar al globo mayor. De hecho existen cercanos a la “superficie”, en las antenas, pequeñas estructuras muy similares al conjunto completo.

Cada una de las ramitas del brócoli es parecida a un brócoli completo

Pero lo interesante ocurre en el límite, en el borde más externo del conjunto. Ahí es realmente muy difícil, aun para un computador, estimar si un número pertenece o no al conjunto. Necesitará entonces repetir (“iterar”) cientas, miles o millones de veces la operación (elevar al cuadrado y sumar) para determinar si la serie está acotada o no. Entonces los genios de la computación, los verdaderos artistas del bit, decidieron que sería una excelente idea asignar un color (cualquiera) a cada punto si se determina que no pertenece, según qué tan “rápido” se haga esa determinación. Entonces la imagen se vuelve mucho más interesante

Después de aplicar esa regla la imagen cambia radicalmente

En este caso los colores azules fueron descartados rápidamente, los rojos y amarillos no tanto, y los celestes (más cercanos al límite), solo descartados después de miles de iteraciones. ¡Los colores son lo menos importante! Estamos a un paso de entrar a apreciar el universo infinitamente complejo de su perímetro infinitamente plegado. Hay zonas con elefantes, martillos, agujas y espinas. Hay una zona, entre los dos círculos más grandes, en que se generan pequeñas ofiuras hechas de ofiuras más pequeñas.

Cada uno de los tentáculos contiene, al final, cuando se convierte en el cuerpo superior, un huevo que en su núcleo más interno alberga una copia muy similar al conjunto completo, rodeado de miles de capas de cabellos finísimos. Cada cabello se conecta a su vez con la capa superior, en un espiral de tentáculos y pelos hasta que de pronto, muy al fondo, aparece otro conjunto pequeño, en el interior de un huevo alimentado por 8 medusas.

Un huevo al final de un pelo en el interior de un huevo ubicado al final de un tentáculo de una ofiura, alimentado por 8 medusas.

Los ojos de las medusas son medusas, algunas deformadas, grandes y pequeñas, que alimentan más huevos que tienen en su interior al conjunto completo. En otras ofiuras las medusas son reemplazadas por choritos. ¿o serán copépodos, o chanchitos de tierra? Los pelos quizás son corales, o hidras. ¿Quién sabe, realmente?

No son medusas, sino choritos

Números grandes no infinitos

Dios promete la vida eterna: un número sin fin de días en el paraíso, o en el infierno. Pero para todos los efectos, ambos vienen a ser casi lo mismo. Veamos por qué. Infinito es el límite fácil de la secuencia de los números naturales, pero mucho, mucho antes (técnicamente al principio de la línea), están monstruos gigantescos, que desafían completamente nuestra habilidad para visualizarlos, mucho menos para comprenderlos. Pero hay maneras de escribirlos.

La potenciación permite generar, de manera muy sencilla, números mucho más grandes que el límite de la imaginación humana. Un millón es 10^6, y ese seis tan chiquito, se puede cambiar sin esfuerzo por lo que sea, incluso por un millón. O por ochenta, quedando 10^{80}, el número aproximado de partículas (electrones y esas cosas) en el universo observable. Ese es el número de partículas que componen las cientos de miles de millones de estrellas en cada una de las cientas de miles de millones de galaxias que podemos “mirar”. Y ojo, que cambiar ese 80 tan redondito por 81, implicaría que hubiera diez veces más partículas que las que realmente hay; lo mismo por 79, el universo estaría diez veces más vacío.

Universo observable, por Pablo Carlos Budassi

Ilustración artística en escala logarítmica del universo observable, por Pablo Carlos Budassi

Y es que está super vacío: la totalidad del universo observable, todo lo que existe para nosotros, tiene un volumen aproximado de 10^{79} metros cúbicos. Considerando que está ocupado por 10^{80} partículas, eso significa que, en promedio, cada metro cúbico tiene 10 partículas. Diez miserables partículas subatómicas, demasiado pequeñas para imaginarlas, por cada metro cúbico del universo. Pero pasa que estamos en una región especialmente llena de cosas, como estrellas y planetas y personas y todo lo demás. El resto del universo está casi completamente vacío.

Leí por ahí que algunas interpretaciones de la teoría de las cuerdas predicen que existe un total de 10^{500} posibles universos, cada uno con distintas características del nuestro. De partida analizar esa afirmación es super raro, porque universo suele significar todo lo que existe, y casi por definición, entonces, es único. No es mi momento de hacer ese análisis; en cambio me quiero fijar en el numerito que estaba pasando desapercibido.

Para lograr empezar a imaginar un número tan grande, tenemos que dejar las analogías terrenales. Necesitamos ponernos en los descomunales zapatos de Dios. Imaginar por un minuto (o un poco más), que tenemos el poder divino ilimitado de la creación, y que, como en un principio, hacemos la luz. Desde la nada incomprensible tomamos nuestro actual universo observable, y lo desmantelamos, partícula por partícula, pero con un extra: por cada partícula que tomamos, nos tomamos seis días (nada de descansos) para crear un universo completamente nuevo, uno de los 10^{500}. Después de excesivamente muchos días, tenemos, apenas, 10^{80} universos; es decir, ¡que nos faltan muchísmos! Entonces nos ponemos en los zapatos de Dios modo Dios, y aumentamos nuestro poder creador al máximo. Tomamos cada una de las partículas de cada una de las estrellas, de cada una de las galaxias, de cada uno de los universos que recién creamos, y hacemos el mismo procedimiento: una creación por cada partícula. Con eso debería bastar, ¿cierto? La realidad es que nos quedamos cortos, nuevamente por mucho. Recién hemos creado 10^{160}

Si le llamamos MEGA APOCALIPSIS al proceso de destruir cada uno de los universos que tenemos en un momento determinado, y MEGA GÉNESIS al proceso de crear por cada una de las partículas resultantes uno nuevo, necesitaríamos llegar a un momento entre el sexto y el séptimo MEGA GÉNESIS para llegar al número total de universos que predicen ciertas interpretaciones de la teoría de cuerdas.

El tiempo que nos demoramos en crear los primeros universos en el primer MEGA GÉNESIS, 6\times10^{80} días,  es, a su vez , un tiempo excesivamente largo. Terroríficamente largo. El universo solo tiene 5\times10^{12} días; la especie humana tiene aproximadamente 3,6\times10^{7} días, y la escritura unos 2 millones de días.

La vida de un hombre no es nada frente a la del mundo. Nos encantaría poder gozar la vida de mil maneras, y por eso anhelamos la promesa de la vida eterna. Toda la duración de la historia de la humanidad no se compara a la del universo, la que a la vez no se compara a la del MEGA GÉNESIS. Pero todo palidece con la vida eterna. Son días que abarcan todas las posibilidades imaginables: todos los eventos posibles de ocurrir, infinitas veces repetidos, por siempre. El infinito es el peor final posible: fuimos engañados y nos enviaron al infierno.

Para la próxima dejo a los super titanes, que dejan absolutamente obsoletos los métodos divinos, y la imaginación por fin pierde completamente el sentido.

Números grandes e infinito

Nos pasó varias veces: eramos cabros chicos, y en algún punto del juego, o de una discusión no tan seria, todo se iba a decidir por quién decía el número más grande. La pelea tenía un ganador, cuando alguien traía un concepto nuevo, una nueva manera de armar un número aun más grande. Cuando nuestra referencia más gigantesca era ese juguete prohibido que costaba diez mil pesos, y nos ganamos esa palabra mágica mil que estiraba toda cantidad por grande que fuera hasta los límites de la imaginación, y más allá, pretendíamos terminar la discusión diciendo que nosotros eramos mejores seis mil doscientos mil quinientos veces que nuestro amigo, el que, aceptando que perdió la batalla, pero no la guerra, iba a prepararse para responder algo mucho mejor la próxima vez.

Y no pasó mucho hasta que alguien descubrió el millón, y aseguraba que su mamá podía contar, de hecho, hasta un millón, y él ya la había visto hacerlo varias veces. Lo intentamos, en secreto, pero pocos llegaban más allá del cien. Después supimos que se podían combinar todas estas palabras, y de manera exponencial los límites de los números abandonaron por completo los de la imaginación. Sin ningún esfuerzo podíamos formular que el otro era más tonto por mil millones, despreocupados por completo de la verdadera proporción de lo que estábamos hablando.

Por supuesto que uno de nosotros le puso pronto fin a toda la pelea, y trajo a nuestro conocimiento el “número más grande” de todos, por definición, infinito. Y mi papá es mejor que el tuyo por infinito. Sobra decir que existía una respuesta natural: si es que realmente infinito era el número más grande, infinito + 1 tenía que ser, necesariamente, aun mayor. Pero ahí estaba el límite. La pelea no nos iba a traer elementos novedosos. Ya no había números más grandes con los que jugar. Algunos más vivarachos estiraron el elástico usando las operaciones, y por ahí salió un infinito por infinito, en los estertores finales del juego.

Pero el infinito es un límite flojo, no tiene ninguna gracia. Solo gana por definición. Es incluso peor cuando descubrimos que infinito + 1 sigue siendo infinito 1Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida. El juego perdió todo interés, y, de adultos, muchos nunca volvemos a experimentar quizás nunca en la vida, la alegría de descubrir un nuevo peldaño en la escala. Pero de vez en cuando podemos tener breves vislumbres  de números que están mucho más lejos que el infinito, sin estarlo realmente 2Evidentemente es que no son números “más grandes que el infinito”, si definimos infinito como un “número más grande que todo el resto”, pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos..

Como la leyenda del trigo (o el arroz) y el tablero de ajedrez. En el mejor de los mundos un familiar, un profesor, o un amigo nos cuentan de la leyenda del inventor del ajedrez, que demandó como humilde pago por su novedoso juego, 1 grano de arroz por la primera casilla, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera, y así, el doble de la cantidad por cada casilla, hasta completar el tablero. Y el remate es que el número final es tan grande, que sería completamente imposible para el mundo entero producir tanto arroz. De hecho, el número total de granos es 1000 veces más grande que la producción actual mundial de arroz. Y ese número corresponde a 2^{64}-1=118.446.744.073.709.551.615 , que en palabras es ciento dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones y quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de arroz. Y ese número, que es tan monstruosamente grande, tan alejado de nuestra realidad, pero que emerge de un patrón tan simple y accesible como un tablero de ajedrez, nos entrega un nuevo peldaño para mirar, a partir de ahí, otros números tan gigantescos como ese. Como 27.380.000.000.000.000.000, en palabras veintisiete trillones, trescientos ochenta mil billones, que es el número de maneras en que se pueden emparejar los aproximadamente siete mil cuatrocientos millones de seres humanos en el planeta. Cuatro granos de arroz por cada pareja posible. Y ese número se escribe chiquito: un poco más que 10^{20} . Ese 20 podría ser cualquier número.

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma

Tablero de ajedrez con las primeras 8 casillas rellenas. Por MartinThoma [GFDL CC BY 3.0]

Y hay maneras de ampliar más la mente. Existen números “normales”, no infinitos, que escapan a las maneras convencionales incluso de escribirlos (y que tienen aplicaciones “reales”), pero eso lo quiero dejar para otro momento.

Notas   [ + ]

1. Y es aun peor si tomamos en cuenta que infinito no es ni siquiera un número, sino otro tipo de concepto, así que no puede simplemente sumarse infinito + 1, al menos no con las reglas de la matemática de toda la vida
2. Evidentemente es que no son números “más grandes que el infinito”, si definimos infinito como un “número más grande que todo el resto”, pero puede ser que sea más fácil entender el concepto de infinito, que imaginarse números tan gigantescos.